猜 1..100：公平价格与最优猜测分布

设你猜 $n$ 的概率为 $q_n$，则若对方选定 $n$，你的期望收益为 $nq_n$。

对方会选使其最小的 $n$，你要最大化 $\min_n (nq_n)$。最优是把 $nq_n$ 拉平：令 $q_n=c/n$。

由 $\sum_{n=1}^{100} q_n=1$ 得

$$c\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}=1\Rightarrow c=\frac{1}{H_{100}}.$$

因此最优策略 $\boxed{q_n\propto 1/n}$，并且你能保证的期望收益（也是公平价格）为

$$\boxed{\frac{1}{H_{100}}}\approx 0.193.$$