生日悖论：至少一对同生日的最小人数 Birthday Pairings 专题 Probability / 概率 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 What is the least number of persons required if the probability exceeds 12\frac{1}{2}21 that two or more of them have the same birthday? (Year of birth need not match.) 解析 忽略闰年且生日在 365 天上均匀独立。 无碰撞概率为 P(全不同)=365365⋅364365⋯365−n+1365.\mathbb{P}(\text{全不同})=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdots\frac{365-n+1}{365}.P(全不同)=365365⋅365364⋯365365−n+1. 用近似 ln(1−x)≈−x\ln(1-x)\approx -xln(1−x)≈−x 得 P(全不同)≈exp(−n(n−1)2⋅365).\mathbb{P}(\text{全不同})\approx \exp\left(-\frac{n(n-1)}{2\cdot 365}\right).P(全不同)≈exp(−2⋅365n(n−1)). 要求至少一对同生日概率 >1/2>1/2>1/2 等价于 P(全不同)<1/2\mathbb{P}(\text{全不同})<1/2P(全不同)<1/2，即 exp(−n(n−1)730)<12⇒n(n−1)730>ln2.\exp\left(-\frac{n(n-1)}{730}\right)<\frac12\Rightarrow \frac{n(n-1)}{730}>\ln 2.exp(−730n(n−1))<21⇒730n(n−1)>ln2. 解得阈值约 n≈23n\approx 23n≈23，且精确计算最小整数为 n=23.\boxed{n=23}.n=23.