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生日悖论

Birthday Pairings

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

概率题：生日悖论：至少一对同生日的最小人数。

英文原题

What is the least number of persons required if the probability exceeds 12\frac{1}{2} that two or more of them have the same birthday? (Year of birth need not match.)

解析

忽略闰年且生日在 365 天上均匀独立。

无碰撞概率为

P(全不同)=365365⋅364365⋯365−n+1365.\mathbb{P}(\text{全不同})=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdots\frac{365-n+1}{365}.

用近似 ln⁡(1−x)≈−x\ln(1-x)\approx -x 得

P(全不同)≈exp⁡(−n(n−1)2⋅365).\mathbb{P}(\text{全不同})\approx \exp\left(-\frac{n(n-1)}{2\cdot 365}\right).

要求至少一对同生日概率 >1/2>1/2 等价于 P(全不同)<1/2\mathbb{P}(\text{全不同})<1/2，即

exp⁡(−n(n−1)730)<12⇒n(n−1)730>ln⁡2.\exp\left(-\frac{n(n-1)}{730}\right)<\frac12\Rightarrow \frac{n(n-1)}{730}>\ln 2.

解得阈值约 n≈23n\approx 23，且精确计算最小整数为

n=23.\boxed{n=23}.

英文解析

exp⁡(−n(n−1)730)<12⇒n(n−1)730>ln⁡2.\exp\left(-\frac{n(n-1)}{730}\right)<\frac12\Rightarrow \frac{n(n-1)}{730}>\ln 2. n=23.\boxed{n=23}.