折断木棍成三段：能否成三角形

(i) 在单位长度上随机取两断点，相当于在三角形区域内均匀取 $(x,y)$。能成三角形当且仅当三段都小于 $1/2$。计算可得概率为

$$\boxed{\frac{1}{4}}.$$

(ii) 先随机断一次，设较长段长度为 $b\in[1/2,1]$，较短段为 $a=1-b$。再把长段随机断成 $bU$ 与 $b(1-U)$。

成三角形仍等价于三段都小于 $1/2$，即

$$U\in\left(1-\frac{1}{2b},\ \frac{1}{2b}\right),$$

条件概率为区间长度 $\frac{1-b}{b}=\frac{a}{b}$。

又 $b=\max(X,1-X)$（$X\sim U(0,1)$）在 $[1/2,1]$ 上密度为 2，所以总体概率

$$\int_{1/2}^{1}2\cdot\frac{1-b}{b}\,db =2\int_{1/2}^{1}\left(\frac{1}{b}-1\right)db =2\ln 2-1.$$

因此 (ii) 的概率为 $\boxed{2\ln 2-1}\approx 0.386$。