长针投掷：期望穿过线数

对间距为 1 的一组平行线（例如水平线），经典结果是：针长为 $L$ 时，期望穿线数为

$$\mathbb{E}[N_{\text{one direction}}]=\frac{2L}{\pi}.$$

网格有水平线与竖直线两组，线性期望可加，因此

$$\boxed{\mathbb{E}[N_{\text{total}}]=\frac{4L}{\pi}}.$$

若沿用上一题记号 $L=2l$，则 $\mathbb{E}[N]=\boxed{\frac{8l}{\pi}}$。