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A 选 1..100，B 猜中得 n 美元：公平价格与

What is the fair price of the game, and what should be the strategy of B?

专题
Strategy / 策略
难度
L6

题目详情

玩家 A 邀请玩家 B 玩如下游戏：A 从 1 到 100 中选一个整数 nn 写在纸上。B 尝试猜 nn。

若猜中，B 获得 nn 美元；若没猜中，B 得 0。

问：游戏的公平价格是多少？B 应该用什么策略？

Player A invites player B to play the following game: A picks an integer n between 1 and 100, and writes it on a paper. B tries to guess n. If he succeeds, he receives n dollars. What is the fair price of the game, and what should be the strategy of B?

解析

把 B 的策略设为：猜 nn 的概率为 qnq_n（qn≥0q_n\ge 0 且 ∑n=1100qn=1\sum_{n=1}^{100} q_n=1）。

若 A 选择数字 nn，则 B 的期望收益为

E[payoff∣n]=n qn.\mathbb{E}[\text{payoff}\mid n]=n\,q_n.

A 会选择使该期望最小的 nn，因此 B 要最大化

max⁡{qn} min⁡1≤n≤100(nqn).\max_{\{q_n\}}\ \min_{1\le n\le 100} (n q_n).

最优做法是把所有 nqnnq_n 拉平为同一常数 cc：令

qn=cn.q_n=\frac{c}{n}.

由概率和为 1 得

∑n=1100cn=1⇒c=1H100,H100=∑n=11001n.\sum_{n=1}^{100} \frac{c}{n}=1\Rightarrow c=\frac{1}{H_{100}},\quad H_{100}=\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}.

于是对任意 nn 都有 nqn=cnq_n=c，A 无论选什么都只能给出期望 cc。

因此 B 的最优策略是 qn∝1/n\boxed{q_n\propto 1/n}，游戏的公平价格（B 的保证期望收益）为

1H100≈0.193 美元.\boxed{\frac{1}{H_{100}}}\approx 0.193\ \text{美元}.