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圆形场地逃离拴在围栏上的狗：最优跑法

running strategy to escape the field?

专题
Brainteaser / 脑筋急转弯
难度
L4

题目详情

你站在半径为 RR 的圆形场地中心，周围是低矮铁丝网围栏。围栏上拴着一条狗，狗只能沿围栏周长奔跑。

你跑步速度为 ν\nu，狗的速度是你的 4 倍。

问：你应采取怎样的跑动策略才能逃出场地？

You are standing at the centre of a circular field of radius RR . The field has a low wire fence around it. Attached to the wire fence (and restricted to running around the perimeter) is a large, sharp- fanged, hungry dog. You can run at speed ν\nu , while the dog can run four times as fast. What is your running strategy to escape the field?

解析

分两阶段。

阶段 1：先绕圈“控角度”。

你先沿以圆心为中心、半径为 rr 的圆周跑动，使自己与狗在圆心处的极角保持一致（让狗始终在与你同一径向方向的围栏点上）。

你在半径 rr 处的最大角速度为 ν/r\nu/r；狗在围栏半径 RR 处的角速度为 4ν/R4\nu/R。

只要

νr≥4νR⇒r≤R4,\frac{\nu}{r}\ge \frac{4\nu}{R}\Rightarrow r\le \frac{R}{4},

你就能在角度上不被狗甩开。

取 r=R/4r=R/4，在该圆上绕跑，直至你与狗处于“正对”（同一径向）。

阶段 2：径向冲刺。

此时你沿半径方向直线冲向围栏，距离为 R−r=3R/4R-r=3R/4，所需时间

tyou=3R/4ν.t_\text{you}=\frac{3R/4}{\nu}.

狗要从对侧沿围栏跑到你冲刺的出口点，最短也需跑半圈，距离 πR\pi R，时间

tdog=πR4ν.t_\text{dog}=\frac{\pi R}{4\nu}.

因为 tyou<tdogt_\text{you}<t_\text{dog} 等价于 3<π3<\pi（成立），所以你能在狗赶到前越过围栏。