Alice 能保证必胜吗？

Can Alice always win

专题: Brainteaser / 脑筋急转弯
难度: L6
来源: QuantQuestion

题目详情

Alice 和 Bob 轮流从以下 9 个数中选 1 个（不放回）：

\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,8,16.

谁先得到 3 个数且三数乘积等于 1，谁就获胜。Alice 先手。

问：她应采用什么策略？她能保证必胜吗？

Alice and Bob alternately choose one number from one of the following nine numbers: 1/16,1/8,1/4,1/2,1,2,4,8,16,without replacement. Whoever gets three numbers that multiply to one wins the game. Alice starts first. What should her strategy be? Can she always win?

解析

把这些数都写成 $2^k$ ：集合为 $\{2^{-4},2^{-3},\ldots,2^4\}$ 。

三数乘积为 1 等价于指数和为 0：

2^{k_1}2^{k_2}2^{k_3}=1\iff k_1+k_2+k_3=0.

将每个指数平移 $+5$ （把 $\{-4,-3,\ldots,4\}$ 映射到 $\{1,2,\ldots,9\}$ ），条件变为“三个数之和为 15”。这正是经典的 15 游戏，与井字棋同构。

结论：在双方最优对弈下，先手 不能保证必胜（最优结果为不输/逼平；对手失误时才可赢）。

实用策略：先手优先拿 $1$ （指数 0，对应井字棋中心格），随后每步优先阻止对手形成任意三数乘积为 1 的组合，并尝试制造“双威胁”（下一步有两种不同方式可凑出乘积为 1）。