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涂色立方体

cubes can you see on the outside?

专题
Brainteaser / 脑筋急转弯
难度
L2

题目详情

1）一个 4×4×44\times 4\times 4 的大立方体由 1×1×11\times 1\times 1 的小立方体组成。若给大立方体外表面涂漆，有多少个小立方体至少有一面被涂到？

2）把外表面涂漆后的 4×4×44\times 4\times 4 大立方体拆开后，分别有多少个小立方体具有 0、1、2、3 个被涂的面？

3）一个 10×10×1010\times 10\times 10 的大立方体由 1000 个单位小立方体组成。外表面能看到多少个单位小立方体？

英文原题

  1. A 4×4×44 \times 4 \times 4 cube is made up of 1×1×11 \times 1 \times 1 cubes. If I paint the outside of the cube, how many 1×1×11 \times 1 \times 1 cubes have paint on them?
  2. A 4 by 4 by 4 cube is painted on the outside then broken up. How many little cubes have each of 0, 1, 2, 3 painted sides?
  3. A 10×10×1010 \times 10 \times 10 cube is made of 1,000 unit cubes. How many unit cubes can you see on the outside?
解析

(1) 至少一面被涂到的小方块数 = 总数 − 内部完全看不到的方块数。

43−(4−2)3=64−8=56.4^3-(4-2)^3=64-8=\boxed{56}.

(2) 对 n=4n=4：

  • 3 面被涂（角）：88 个；
  • 2 面被涂（棱但非角）：12(n−2)=12⋅2=2412(n-2)=12\cdot 2=24 个；
  • 1 面被涂（面内部）：6(n−2)2=6⋅4=246(n-2)^2=6\cdot 4=24 个；
  • 0 面被涂（内部）：(n−2)3=8(n-2)^3=8 个。

所以分别为 0:8, 1:24, 2:24, 3:8\boxed{0:8,\ 1:24,\ 2:24,\ 3:8}。

(3) 对 n=10n=10，外表面可见的小方块数 = 总数 − 内部方块数：

103−(10−2)3=1000−512=488.10^3-(10-2)^3=1000-512=\boxed{488}.

英文解析

(1) The number of small cubes with at least one face painted = Total − Number of cubes completely hidden inside.

43−(4−2)3=64−8=56.4^3-(4-2)^3=64-8=\boxed{56}.

(2) For n=4n=4:

  • 3 faces painted (corners): 88 cubes;
  • 2 faces painted (edges excluding corners): 12(n−2)=12⋅2=2412(n-2)=12\cdot 2=24 cubes;
  • 1 face painted (face interior): 6(n−2)2=6⋅4=246(n-2)^2=6\cdot 4=24 cubes;
  • 0 faces painted (interior): (n−2)3=8(n-2)^3=8 cubes.

Thus, the counts are 0:8, 1:24, 2:24, 3:8\boxed{0:8,\ 1:24,\ 2:24,\ 3:8}.

(3) For n=10n=10, the number of small cubes visible on the exterior = Total − Number of interior cubes:

103−(10−2)3=1000−512=488.10^3-(10-2)^3=1000-512=\boxed{488}.