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20×20 棋盘叠方块：总方块数

chessboard

专题
Brainteaser / 脑筋急转弯
难度
L4

题目详情

有一个 20×2020\times 20 的棋盘和大量相同的小立方体（每格大小与立方体底面相同）。

把棋盘一条边对齐为南北方向，从西北角开始在该格放 1 个立方体。每当向南或向东移动一步，就在新格放一堆比上一格多 1 个立方体。

按此规则铺满棋盘，问棋盘上总共放了多少个立方体？

I have a 20×2020 \times 20 chessboard and a very large box of identical cubes. Each square on the chessboard is the same size as the face of any cube. I am going to arrange piles of cubes on the chessboard in a special pattern. I align one edge of the board so it is running north- south. I start at the northwest corner by placing one cube on that square. Whenever I step to the south or the east, I place a pile of cubes containing one more cube than in the previous square. This produces the pattern in Figure 1.2. How many cubes in total are there on the chessboard?

解析

把西北角记作 (1,1)(1,1)，向东列号 jj 加 1，向南行号 ii 加 1。

从 (1,1)(1,1) 出发到 (i,j)(i,j) 必须走 (i−1)+(j−1)(i-1)+(j-1) 步，每一步堆数加 1，因此该格堆数为

1+(i−1)+(j−1)=i+j−1.1+(i-1)+(j-1)=i+j-1.

总数为

∑i=120∑j=120(i+j−1)=(∑i=12020i)+(∑j=12020j)−∑i=120∑j=1201.\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}(i+j-1)=\left(\sum_{i=1}^{20}20i\right)+\left(\sum_{j=1}^{20}20j\right)-\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}1.

其中 ∑i=120i=210\sum_{i=1}^{20} i=210，所以前两项各为 20⋅210=420020\cdot 210=4200，最后一项为 400400。

因此总数 =4200+4200−400=8000=4200+4200-400=\boxed{8000}。