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骰子均衡：完美点数

Dicey Equilibrium: The Perfect Roll

专题
Strategy / 策略
难度
L6

题目详情

有 100 枚骰子，第 ii 枚骰子是公平的，点数为 11 到 ii。

Nature 等概率随机选一枚骰子并掷一次，最终结果为 k∈{1,…,100}k\in\{1,\ldots,100\}。

三位玩家在知道先前玩家选择的情况下，依次从 {1,…,100}\{1,\ldots,100\} 选择一个目标数。最终离 kk 最近的玩家获胜。

问：子博弈完美均衡（subgame–perfect equilibrium）下三位玩家分别选择什么数？他们各自获胜概率是多少？

In a game with 100 dice, where die ii is fair with faces numbered 11 through ii, Nature rolls a die chosen uniformly at random, resulting in outcome kk from {1,…,100}\{1, \ldots, 100\}. Three players, knowing previous picks, sequentially choose a target number from {1,…,100}\{1, \ldots, 100\}. The player with the number closest to kk wins. What choices form the subgame–perfect equilibrium and what are their respective win probabilities?

解析

令随机结果为 KK。由于先等概率选骰子再掷点，有

P(K=k)=1100∑i=k1001i,k=1,…,100.\mathbb{P}(K=k)=\frac{1}{100}\sum_{i=k}^{100}\frac{1}{i},\quad k=1,\ldots,100.

该分布明显偏向小数值，其中位数为 k=19k=19（即 P(K≤19)≈0.5015\mathbb{P}(K\le 19)\approx 0.5015）。

用逆推（每一步都选择能最大化自己赢面的位置）可得到子博弈完美均衡选择为

(y1,y2,y3)=(19,7,39).(y_1,y_2,y_3)=(19,7,39).

在该三点下，按“最近者获胜”的划分区间（若出现到两个点距离相同，则两者平分该点的胜率），边界在中点 13 与 29：

  • 玩家 2（选 7）在 k≤12k\le 12 时胜，k=13k=13 时与玩家 1 平分；
  • 玩家 1（选 19）在 14≤k≤2814\le k\le 28 时胜，并与玩家 2 在 k=13k=13 平分、与玩家 3 在 k=29k=29 平分；
  • 玩家 3（选 39）在 k≥30k\ge 30 时胜，k=29k=29 时与玩家 1 平分。

把上述区间上的 P(K=k)\mathbb{P}(K=k) 相加，可得三者胜率约为

(p1,p2,p3)≈(0.25864, 0.38052, 0.36084).\boxed{(p_1,p_2,p_3)\approx(0.25864,\ 0.38052,\ 0.36084)}.