三名囚犯问题

Three Prisoners

专题: Probability / 概率
难度: L2
来源: QuantQuestion

题目详情

三名囚犯 A、B、C 都被判死刑。总督会随机赦免其中 1 人（等概率），另 2 人会被处决。

囚犯 A 要求狱卒告诉他：另外两人中“至少有一人”会被处决，并让狱卒说出其中一人的名字。狱卒回答：“B 会被处决。”

在此信息下，囚犯 A 被赦免的概率是多少？

Three prisoners — A, B, and C — are all sentenced to death. The governor randomly chooses one to be pardoned, and the other two will be executed.

Prisoner A asks the warden to tell him the name of one of the others who is going to be executed. The warden replies, “Prisoner B will be executed.”

Given this information, what is the probability that Prisoner A will be pardoned?

解析

关键在于狱卒在“可说两个人名”时如何选择。

常见假设：如果 A 被赦免（则 B、C 都会被处决），狱卒在说 B 或说 C 之间等概率随机；若 A 未被赦免，则狱卒只能说出那个必死者。

设 $H$ 为“狱卒说 B 会被处决”。

$P(A\text{被赦免})=1/3$ ，且此时 $P(H\mid A\text{被赦免})=1/2$ 。
$P(C\text{被赦免})=1/3$ ，此时 B 必死， $P(H\mid C\text{被赦免})=1$ 。
$P(B\text{被赦免})=1/3$ ，此时狱卒必说 C， $P(H\mid B\text{被赦免})=0$ 。

因此

P(A\text{被赦免}\mid H)=\frac{(1/3)(1/2)}{(1/3)(1/2)+(1/3)(1)}=\frac{1}{3}.

所以答案为 $\boxed{1/3}$ （在上述狱卒随机策略假设下）。