网格染色与同色矩形
Color Complex
题目详情
在二维平面上所有整数点 都被染成黑色或白色。
问：是否必然存在一个与坐标轴平行的矩形，使其四个顶点同色？
On a 2D complex plane, all the integer-component points are coloured either White or Black. Is Possible to find a rectangle parallel to axis which has all corners of same color?
解析
必然存在。
固定一行（例如 ）。其中必有无限多个点同为黑或同为白。取其中一种颜色（不妨设白色）对应的无限多列集合 。
再看下一行 在这些列上的颜色：要么在 中仍有无限多列为白色（则两行 与任取两列构成同色矩形），要么在 中有无限多列为黑色（记为 ）。
继续看 在 上的颜色：要么有无限多列为黑色（则用 得到黑色矩形），要么有无限多列为白色（则用 得到白色矩形）。
因此一定能找到两行与两列，使四个角同色。